协和影视 二次函数中的一题“十五变”
发布日期：2024-08-03 21:36 点击次数：144
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通过一个典型的二次函数，瞎想出以下几类变式：求函数默契式、用字母暗示出线段的长度、均分角问题、等腰或直角三角形存在性问题、角卓越问题、面积比问题、平移问题、翻折问题、旋转问题和新界说问题。文末不错下载学习单，点击“阅读原文”贯穿关系本色学习的视频。图片
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01 二次函数布景分析
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布景分析：本题中抛物线与坐标轴的交点为(3，0)和(0，3)，字据这个特殊性，不错得到∠OBA=∠BAO=45°，由于MP⊥x轴，因此可得到∠QPB=∠MPA=∠BAO=45°，同期跟着点M的泄露，点P和点Q也陪同泄露，况兼这三点的横坐标一致，P、Q两点的坐标王人不错用含m代数式暗示。图片
02 求二次函数默契式、对称轴和极点坐标
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解法分析：二次函数的默契式中有两个统统未知，字据题目中提供的A(3，0)，点B（0，3），通过待定统统法完成求解。图片
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03 用含m的代数式暗示线段PQ的长
解法分析：通过读题、团结图形，不错发现点M、Q、P在归并条直线上，且直线与横轴是垂直的位置关系，那么直线上通盘点的横坐标疏通，即m，点P在线段AB上，是以先求出线段AB场所直线默契式，不错得到点P的坐标，点Q在抛物线上，字据上一小问中求出的抛物线抒发式，得到点Q的坐标，从而求出线段PQ的长。图片
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04 二次函数与角均分线
问题1：采集BM，当BM均分∠ABO，求点M的坐标解法分析：在两条直线平行的布景下，一个角的角均分线不错构造等腰三角形，在知谈边长的情况，通过列方程，求解。图片
除了上述期骗角均分线+平行线→等腰三角形的模子外，还不错期骗以下三种形式求解：方法1期骗角均分线的性质定理，过点M作MN⊥AB，期骗OM+MA=3求出m的值；方法2期骗∠OAM=22.5°，期骗22.5°特殊角的正切值求解，关联词需要推导出22.5°的规划经由；方法3期骗角均分线分线段成比例定理，亦然需要讲明的。图片
问题2： 采集BQ、AQ，当QM均分∠BQA，求点M的坐标
解法分析：已知均分和垂直，则联思“等腰三角形三线合一”，延迟QB交x轴。此时构造了一组A型基本图形，期骗比例线段求解。除了下图所示方法外，还不错过点B作QM的垂线，期骗tan∠BQP=tan∠AQM求解。图片
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05 特殊三角形的存在性
问题1：采集BQ，若△BPQ为直角三角形，求点M的坐标解法分析：已知∠QPB=45°，因此，若▲PBQ为直角三角形则有两种情况，即∠BQP=90°或∠PBQ=90°，此时字据对称性或等腰三角形的性质，不错求出点M的坐标。图片
问题2：采集BQ，若△BPQ为等腰三角形，求点M的坐标解法分析：当▲PBQ为等腰三角形时，从等腰三角形图形特征启航，两个边卓越，但不成笃定具体是哪两个边卓越，因此需要分类计划，以点Q为顶角的极点，以点B为顶角的极点，以点P为顶角的极点，在经由中，看重特殊角45度。图片
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06 角卓越问题
问题：采集OP，当∠BOP=∠PBQ时，求点M的坐标解法分析：通过图像发现直线PM∥y轴，得到∠BPQ和∠OBA这一双内错角卓越，字据一样三角形的判定定理1，得到▲OBP与▲BPQ一样，借助一样三角形性质，对应线段成比例，从而求出m，便可求出PQ的线段的长度。图片
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07 面积比问题
问题1：△BPQ面积是▲OPM面积的两倍，求点M的坐标.解法分析：这两个三角形是等高的，因此这两个三角形的面积之比即是底之比。图片
问题2：记抛物线与x轴的另一个交点为C，采集CQ、AB，若CQ与AB的交点为N，用含m的代数式暗示△BNQ和△ANQ的面积比。解法分析：这两个三角形的面积比即是底之比，即求BN:AN的值。关联词若用距离公式规划，会濒临含根号无法开方的情况。因此不错通过作平行线更正线段之比。在规划的经由中，波及到求直线CQ的默契式或者求解交点坐标N，爱色岛1这王人对规划有着较高的条目。图片
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08 翻折问题
问题：点Q沿着AB翻折到Q′，若Q′是在抛物线对称轴上，求点M的坐标解法分析：通过∠BPQ=45°，不时看重特殊角45度，字据翻折的性质，对应角卓越，对应边卓越，是以∠QPQ'=90°，PQ=PQ'，因为点在抛物线对称轴上，从而得解。图片
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09 平移问题
问题1：将抛物线沿抛物线对称轴向下平移n个单元，使原抛物线极点D落在▲ABO的里面，求n的取值界限.解法分析：通过分析可知，点D落在▲ABO里面时，有两个特殊位置需要看重，即直线x=1与直线AB的交点C和与x轴的交点E，求出交点的纵坐标即可得到平移的距离。图片
问题2：抛物线极点D为(1，4)，抛物线对称轴交线段AB于点E，将抛物线先向左平移1个单元，再向下平移n个单元，使点K落在线段OB上，新抛物线与原抛物线对称轴交点为点H，采集HK.若四边形BKHD的面积为3，求n的值.
解法分析：通过分析可知，先字据题意画出平移后的抛物线图像，然后用含n的代数式暗示点K、点H的坐标，暗示BK、DH的长度，暗示四边形的面积，从而求得n的值。
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10 旋转问题
问题：记原抛物线M的极点为D，将抛物线M向下平移t个单元(t>0)，得到抛物线N，记抛物线N的极点为E，再把点D绕点E顺时针旋转135°，得到点F，若点F在抛物线N上，求t的值.解法分析：画出平移后的抛物线图像，字据旋转的性质画出点F，继而通过过点F作DE的垂线得到∠MEF=∠EFM=45°，从而用含t的代数式暗示出点F的坐标，代入平移后的抛物线即可求出t的值。图片
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11 圆中位置关系
问题：记抛物线与x轴的另一个交点为C，采集CQ，若CQ与y轴的交点为F，以CF为半径的圆C和与以BQ为半径的圆Q外切，求点Q的坐标.解法分析：字据两圆外切，可知圆心距CQ=CF+BQ，同期可知CQ=CF+FQ，从而得到BQ=FQ，进而过点Q作y轴的垂线，期骗等腰三角形的三线合一定理以及X型基本图形建设线段间的比例关系。图片
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12 新界说问题
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解法分析：字据题意，可得
同期发现当x>0时，在x=1处获取函数的最小值，即最低点。而在0<x<1和x>1时的变化趋势不同；当x<0时，跟着x越来越小，函数值越来大，团结感性分析，再借助列表描点的方法不错大致笃定函数图像，继而分析其性质。
由于本题是填空题，也不错期骗特殊值法代入的形式进行判断。
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附
二次函数中旋转和翻折变化
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当抛物线绕原点和极点180°旋转时，启齿标的、极点坐标、默契式又会若何变化呢？让咱们先来不雅察下旋妥洽换后函数图像的变化：图片
通过不雅察图像，咱们发现：当图像对于原点旋转180°时，启齿标的改变，极点横、纵坐标变为相背数；当图像对于极点180°旋转时，启齿标的改变，极点横、纵坐标不变。因此归纳如下表格：图片
当抛物线对于x轴、y轴翻折时，启齿标的、极点坐标、默契式又会若何变化呢？让咱们先来不雅察下翻折变换后函数图像的变化：图片
通过不雅察图像，咱们发现：当图像对于y轴翻折时，启齿标的不变，极点横坐标变为相背数，极点纵坐标不变；当图像对于x轴翻折时，启齿标的改变，极点横坐标不变，极点纵坐标互为相背数。因此归纳如下表格：
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